怎么用真值表主析取范式和主合取范式在逻辑学中，主析取范式（PDNF）和主合取范式（PCNF）是将命题公式转化为标准形式的两种技巧。它们可以帮助我们更清晰地领会逻辑表达式的结构和含义。这篇文章小编将通过真值表的技巧，介绍怎样求出一个命题公式的主析取范式和主合取范式。

一、基本概念

1. 主析取范式（PDNF）

主析取范式是由若干个极小项（minterm）组成的析取（“或”）式。每个极小项对应于真值表中使公式为真的一个行。

2. 主合取范式（PCNF）

主合取范式是由若干个极大项（maxterm）组成的合取（“与”）式。每个极大项对应于真值表中使公式为假的一个行。

二、步骤说明

步骤1：列出真值表

根据命题公式中的变量数，列出所有可能的真值组合，并计算公式在每种情况下的结局。

步骤2：找出主析取范式（PDNF）

– 找出真值表中结局为“真”的行。

– 对每一行，构造对应的极小项（即变量取值为真时用原变量，假时用非变量）。

– 将这些极小项用“∨”连接起来，得到主析取范式。

步骤3：找出主合取范式（PCNF）

– 找出真值表中结局为“假”的行。

– 对每一行，构造对应的极大项（即变量取值为假时用原变量，真时用非变量）。

– 将这些极大项用“∧”连接起来，得到主合取范式。

三、示例分析

假设命题公式为：

P → (Q ∧ R)

真值表如下：

P	Q	R	Q ∧ R	P → (Q ∧ R)
0	0	0	0	1
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

主析取范式（PDNF）

从真值表中，P → (Q ∧ R) 为真的行有下面内容7行（第0~3行和第7行）：

– 行0: P=0, Q=0, R=0 → 极小项为 ?P ∧ ?Q ∧ ?R

– 行1: P=0, Q=0, R=1 → ?P ∧ ?Q ∧ R

– 行2: P=0, Q=1, R=0 → ?P ∧ Q ∧ ?R

– 行3: P=0, Q=1, R=1 → ?P ∧ Q ∧ R

– 行7: P=1, Q=1, R=1 → P ∧ Q ∧ R

因此，PDNF 为：

?P ∧ ?Q ∧ ?R ∨ ?P ∧ ?Q ∧ R ∨ ?P ∧ Q ∧ ?R ∨ ?P ∧ Q ∧ R ∨ P ∧ Q ∧ R

主合取范式（PCNF）

从真值表中，P → (Q ∧ R) 为假的行只有第4、5、6行：

– 行4: P=1, Q=0, R=0 → 极大项为 P ∨ ?Q ∨ ?R

– 行5: P=1, Q=0, R=1 → P ∨ ?Q ∨ R

– 行6: P=1, Q=1, R=0 → P ∨ Q ∨ ?R

因此，PCNF 为：

(P ∨ ?Q ∨ ?R) ∧ (P ∨ ?Q ∨ R) ∧ (P ∨ Q ∨ ?R)

四、拓展资料表格

命题公式	主析取范式（PDNF）	主合取范式（PCNF）
P → (Q ∧ R)	?P ∧ ?Q ∧ ?R ∨ ?P ∧ ?Q ∧ R ∨ ?P ∧ Q ∧ ?R ∨ ?P ∧ Q ∧ R ∨ P ∧ Q ∧ R	(P ∨ ?Q ∨ ?R) ∧ (P ∨ ?Q ∨ R) ∧ (P ∨ Q ∨ ?R)

五、注意事项

– 极小项和极大项的构造要严格按照变量的真值进行。

– 主析取范式和主合取范式是唯一的，但可以有不同的表示方式。

– 在实际应用中，这两种范式常用于逻辑电路设计、自动定理证明等领域。

怎么样？经过上面的分析技巧，我们可以体系地将任意命题公式转化为主析取范式和主合取范式，从而更好地领会和分析其逻辑结构。